Бесконечность возведённая в степень бездонности: непостижимые кардиналы, иерархия бесконечных множеств

Гарвардский математик Хью Вудин посвятил годы исследований бесконечным числам. В качестве своего любимого числа он выбрал бесконечное число 2, возведённое в степень бездонности: 2 ^ {aleph_0}. Числа Алеф (Aleph) используются для описания размеров бесконечных множеств. В математике, множество — это любая коллекция отдельных объектов. (Например, кардинальное число множества букв слова «КОТ» равняется трём)

Почему Вудин выбрал именно это число? Он сказал: «Осознание того, что 2 ^ {aleph_0} не является \ aleph_0 (Теорема Кантора) — это осознание того, что существуют различные размеры бесконечностей. Это делает концепцию 2 ^ {\ aleph_0 } довольно особенной».

Другими словами, всегда есть что-то большее… Бесконечные кардинальные числа бесконечны, и поэтому не существует такой вещи, как «наибольшее кардинальное число».

Непостижимый размер недостижимого кардинала

Немецкий математик Георг Кантор, открывший лестницу бесконечностей, ввёл для каждой ступени специальные обозначения: алеф-нуль, алеф-один, алеф-два…
Кардинальные числа бесконечностей он обозначил как «алеф» (Alef) — первой буквой древнееврейского алфавита. Индекс алефа указывает порядковый номер в иерархии бесконечностей.

Как необычна арифметика кардинальных чисел! Парадокс  «Бесконечность» показывает, что в некотором смысле справедливо, как равенство Alef0 + Alef0 = Alef0, так и равенство Alef0 — Alef0 = Alef0.

Бесконечное множество всех действительных чисел больше, чем множество целых чисел. Кантор присвоил ему кардинальное число Alef1 (алеф-один) — первое трансфинитное число, которое больше чем Alef0. С помощью своего знаменитого «диагонального процесса» Кантор доказал, что множество всех действительных чисел невозможно поставить во взаимнооднозначное соответствие с множеством целых чисел. Кроме того, Кантор установил взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек на любом отрезке прямой, на всей бесконечной прямой, множеством точек квадрата, плоскости, неограниченно простирающейся во все стороны, куба,бесконечного пространства, а также гиперкубов и пространств более высокой размерности.

Кантор доказал также, что кардинальное число 2^Alef больше, чем Alef, то есть между множествами с кардинальными числами 2^Alef и Alef невозможно установить взаимно-однозначное соответствие. Следовательно, иерархия алефов продолжается вверх по лестнице нескончаемо.